Exponentala funciono

L' exponentala funciono es la un di funcioni la plu importanta en matematiko.

L'exponentala funciono es preske plata (klimanta lente) per negativa x's, e klimanta rapide per pozitiva x's.

Simpla aceso

Kad a es reala nombro e n es integro, lore l'« exponentala de n en bazo a » es egala a « a potenco n » sive :

exp_a(n) = a × a × ... × a (n foyo)

On povas extensar ta funciono a ne-intera nombri. On demonstras lore ke la exponentali es la reciproka funcioni di logaritmi log_a, e di altra parto ke la trigonometrika funcioni povas expresar su di simpla manero kon di exponentali.

Ta funcioni derivas su e integras su di tre simpla manero, e eventas en multa solvi di altre equacioni. Existas bazo e tala ke e^x es la reciproka funcion di naturala logaritmo ln.

Defini e proprieti

On notas l'exponentala funciono $\exp$ o ankore $x\mapsto e^x$ (ube $e$ es la naturala bazo di logaritmi) e ta funciono povas esar definata da multa equivalanta fasoni, la un esanta kom la sumo de serio e l'altra kom limito :

$\exp (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$

$\exp (x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n$

Hike $n!$ es la faktorialo di $n$ e $x$ riprizentas irge reala nombro o komplexa nombro.

En omna vectorala normala kompleta spaco, la precedenta serio es normale konverganto, e on povas do definar l'exponentalo di kelka elemento di algebro di Banach o ankore di kelka elemento di corpo di p-adiala nombri.

Reala exponentala funciono

Kad x es realo, lore exp(x) es strikta positiva realo.

Di altra parto la functiono exp di $ℝ$ en ${ℝ}_{+}^{*}$ es klimata e kontinua strikte di plu $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\exp (x)=0$ e $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\exp (x)=+\mathrm{\infty }$, do admisas reciproka funciono, ke es la funciono naturala logaritmo ln, ke es definita sur ${ℝ}_{+}^{*}$.

L'exponentala funciono es derivaga e havas per derivita exp, do es nelimite derivaga. Di plu exp es konvexa.